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翻译《基础钢琴练习法》第4部分:音乐、数学与研究

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发表于 2010-12-23 11:18:43 | 显示全部楼层 |阅读模式
常来本版灌水的朋友一定经常能见到对于《基础钢琴练习法》一书的讨论和翻译活动。即使没看过具体内容,见过的相关标题也肯定不少。包括现在置顶里面征集翻译的一个帖子。

这本书的线上翻译活动其实开始于三年多前pianomozart2000(Janee)介绍这本书的一个帖子http://bbs.popiano.org/viewthread.php?tid=81448。我当时刚开始自学钢琴(小时候学了5年电子琴),有好多不明白的都到这里来问。看到这个帖子之后就想虽然我自己琴弹的不成,别的方面怎么着也能贡献一点吧。于是跟Janee联系,想翻译书的第4部分。其实在全书中没占多少内容,但是因为在大学学习很忙,几年间就只是零零碎碎的翻译了一点点,毕业时又把翻译的量扩充了一倍,不过还是没完成。最近这一个星期真是难得的时间,不用学习不用干活不用到处跑路,再加上置顶帖子里面更加明确的翻译计划,就终于在拖了三年之后一气儿都完成了。。。

第4部分在讲音乐与数学的关系,其实未必很系统,但仍会给人启发。另外,这部分还解释了前面章节讲的那些练习方法的道理,明白了道理之后就能活学活用了。很久之前我曾经贴出过一点点翻译(1、3小节)http://bbs.popiano.org/viewthread.php?tid=98350,版主还给加了不少分。。。我不在那里一一回帖了,多谢各位的鼓励和期待。几年中这本书有过多次更新,所以现在这个帖里这2小节的翻译也略有改动。版主高兴的话可以考虑把那里加的分移过来,hoho,不过平常倒是也没多少时间来这里交流了。。。

我现在的专业是数值计算(numerical computing),“业余专业”是听古典。琴也弹了这几年,并且毕业之后终于从电钢琴转移到真钢琴了。在翻译中我把表述不明的公式和符号重新做了调整,另外对照里面引用的作品的谱子,把看起来笔误的小节号做了修改。各位高手如果发现哪里有问题,包括语句通顺问题在内,请不吝赐教:)万一我又长期不上线,请与pianomozart2000(Janee)联系,嘿嘿

下面是这个帖子的目录:

IV. 音乐、数学与研究

原著作版权为Chuan C. Chang(张仲权先生)所有。翻译此部分不代表译者同意其中全部观点。

1. 我们都能成为莫扎特吗?(2楼)

2. 钢琴练习的科学途径(3楼)

   a. 科学方法(3楼)
   b. 学习的原则(4楼)

3. 直觉为什么常常是错误的?(5楼)

4. 莫扎特公式,贝多芬与群论(6楼)

   莫扎特(弦乐小夜曲、奏鸣曲K300)(7楼)
   贝多芬(第五交响曲、热情、华尔斯坦)(8楼)

5. 学习速率的计算(快1000倍!)(9楼)

6. 进一步的研究课题(10楼)

   a. 弹奏钢琴的动量理论(11楼)
   b. 技术的生理学基础(12楼)
   c. 大脑的研究,潜意识的运用(13楼)
   d. 钢琴的未来(14楼)
   e. 教育的未来(15楼)


[ 本帖最后由 kd1986 于 2010-12-23 13:44 编辑 ]

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 楼主| 发表于 2010-12-23 11:19:34 | 显示全部楼层

1. 我们都能成为莫扎特吗?

答案是惊人的:“也许真的可以!”要得出这样的结论,我们需要考察莫扎特做了什么,以及他是如何做到的。他拥有技术、强大的记忆力、绝对音感,还能作曲。本书涵盖了前三项,而头脑演奏部分地涵盖了最后一项。事实上,大多数钢琴家会认同当今的许多钢琴家在技术上已超过莫扎特;并且我们现在了解如何训练人的记忆力。在今天的数字化世界中,至少一半的孩子通过经常听音乐而获得了绝对音感(尽管很多人自己不知道),因为数字录音的音高一般是准确的。所以,剩下的唯一不确定性在于我们是否能学会像莫扎特那样作曲。几乎每一位成功地走过艰苦的学琴之路而成为专业水准演奏家的人,都有能力作曲。不仅如此,每个伟大的作曲家和演奏家都培养了强劲的头脑演奏能力。因此,如果一个人在很小的时候学习了头脑演奏和丰富的技术,并且像莫扎特那样在钢琴上倾其一生,那么就不难成为一位作曲家。事实上,莫扎特也有缺陷:他无法了解后世发展出的学问,他也无法向后来的伟大作曲家学习,况且那时高质量的钢琴还未得以发明;所以如今应该比莫扎特的时代更容易成为莫扎特。既如此容易,为什么世上难得有几个莫扎特呢?我能找出的唯一解释是,虽然钢琴对于作曲来说是关键性的乐器,然而被普遍接受的直觉性的教学方式严重妨碍了技术的发展,以至于多数钢琴家都把过多的精力放在了高难技术上面,而没有时间发展其他方面。这种困境造成了围绕着大作曲家的光环,好像他们都是常人望尘莫及的超级天才,而使多数学生失去信心甚至不去略试一试——为何要尝试不可企及之事呢?因此,有充分的理由认为,是复杂的历史环境抑制了创造力。

至此,我们考察了莫扎特做了什么。至于他是如何做到的,资料就更少了。这对于技术、记忆力和绝对音感来说无关紧要,因为我们懂得如何学习这些。而从全部的历史记录来看,正是头脑演奏让莫扎特成为几乎独一无二的音乐家。头脑演奏并不是一个传统的教学科目,尽管由于它的重要性而一直是艺术大师们讨论的话题。因此,只要在幼年时学习头脑演奏,未来的学生就有希望把他们的创造力发挥到极致。由于技术、记忆力和头脑演奏主要属于脑部的能力,因而在尽可能小的年龄,即大脑快速发育的时期学习这些,就显得尤为重要。

[ 本帖最后由 kd1986 于 2010-12-23 11:21 编辑 ]

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 楼主| 发表于 2010-12-23 11:23:14 | 显示全部楼层

2. 钢琴练习的科学途径

a. 科学方法。这本书的写作使用了我在9年的本科生/研究生学习以及31年的科学家生涯中学到的科学方法。我的工作涉及基础研究(曾获得六项专利),材料科学(数学、物理、化学、生物、机械工程、电子学、光学、声学、金属、半导体、绝缘体),工业工程的问题解决(失效机理、可靠性、制造业),以及科学报告(在众多主流科学期刊上发表过100多篇同行评审论文)。在我获得康奈尔大学物理博士学位之后,单位还花费100多万美元供我在职期间进修。这样的科学训练对于写作此书是不可或缺的,而多数钢琴家又不会重复我的道路。下面我会解释为什么科学训练的成果对人人都有用,而不仅限于科学家。

一个常见的误解是,科学对艺术家来说太难了。这种说法简直奇怪得无法理解。艺术家创作出最高水平的音乐或其他艺术形式所需经历的精神历程,至少同科学家思索宇宙起源时一样复杂。要说人们生来对艺术或科学有着不同兴趣还有点道理,但我连这一观点也不敢苟同。绝大多数的人都能成为艺术家或科学家,取决于他们——尤其在幼年时——对各领域的接触。

科学是专门发展和应用知识的领域,但这一形式上的定义对非科学家在日常决定中处理科学事务没有帮助。我与科学家们和非科学家们关于如何定义科学有过无休止的讨论,得出的结论是这一形式定义很容易被曲解。而对科学方法的最有用的定义是,科学方法是任何有效的方法。科学赋予人们新的能力。虽然科学的前进需要渊博的科学家,但任何人都可获益于科学。所以另一种定义科学的方式是,科学使原本不可能完成的任务成为可能,并使复杂的工作变得简单。例如:如果让没上过学的人相加两个六位数,他没有办法独立完成。然而现在的任何一个学过算术的三年级小学生拿着纸笔都能计算出来。现如今,你可以用几分钟教会那个没上过学的人用计算器做加法。这说明,科学可以化难为易。

经验显示,科学方法在遵循某些原则时能得到最佳利用。首先是定义的使用:没有贯穿全书的精确定义,本书中大量的讨论将会变得难于理解或有歧义。研究:在科学研究中,做实验、获得数据、记录结果都要使别人能明白你做了什么,并且能再现结果。不幸的是,这并不是钢琴教学一直以来所遵循的,李斯特从未记下他的练习方法。然而,所有伟大的钢琴家都进行过大量的研究。而在此书之前,这些研究极少被记载下来。文献记载与交流:巴赫、肖邦、李斯特等等从未记下他们的练习方法,这是不可估量的损失。他们可能缺乏足够的资源或训练来从事这项工作。文献记载的一项重要功能是错误的去除。一旦写下一个想法,我们就能检验其精确性、消除任何纰漏、并加入新的发现。文献用来建设一条单行道,其内容只会随着时间不断进步。

有个发现连科学家都感到惊讶:大约一半的新成果不是来自实验,而是来自结果的记录和总结。正是在写作此书的过程中,我才发现对速度壁垒的解释。当我要对速度壁垒这个话题下笔时,就自然地开始提问,速度壁垒是什么,有多少种,由什么所形成。与所有从事相似工作的专家交流,并敞开地讨论新的研究成果,是很重要的。在这一方面,遗憾的是钢琴界做得还不够。大多数讲钢琴演奏的书籍甚至都不含参考文献,并且很少建立在前人的工作之上。在本书第一版的写作中,我才认识到恰当地记载和组织思想的重要性,因为尽管我对书中的大部分概念已有10年了解,但直到我完成第一版的写作才充分从中受益。我把自己的书重读了一遍,并系统地尝试其中的方法。这时我才发现这些方法是多么有效!显然,我虽然了解这些方法中的大部分要素,但在我不得不考虑如何将其中的思想形成有用的、有组织的结构之前,仍与具体实践之间存在一些差距。这就像我有了汽车的全部零件,但没有机械师的组装、调试就无法上路一样。

基本理论:科学结论必须基于某些旁人可以验证的理论或原理。极少的概念是独立于任何其他概念而孤立存在的。像“这对我有效”、或者“我30年一直这样教的”、甚至“这就是李斯特所做的”这样的解释并不够好。如果一个老师教一种方法已经有30年,他/她就应该有充分的时间想明白这为什么有效。解释本身通常比其所解释的方法更为重要。例如分手练习是有效的,因为使复杂任务得以简化。这一“简化”的原则一经确立,就可以开始寻找更多类似的方法,比如缩短困难段落或轮廓法。基本理论最可贵的一点,就是不必别人告诉我们每个操作细节——我们通常可以从对方法的理解中自己补充那些细节。

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 楼主| 发表于 2010-12-23 11:24:58 | 显示全部楼层

b. 学习的原则

虽然从小学到大学都是用来学习的,却没有一个地方告诉你怎样学习,这难道不奇怪吗?我们在本书中所发现的钢琴教学从来不教练习方法的情况,也出现在学校这种从不正式讲授学习方法的地方。在写作此书的过程中变得清晰的一点是,钢琴学习的基本原则完全适用于任何学习和活动,如体育、斗争,或给院子除草。所以我们考察一下这些原则。

学习 VS 年龄。我们现在认识到了0至8岁间学习进程的重要性。大脑在这一阶段不断发育,因而只要恰当地培养就有着几乎无限的学习能力。反过来,也存在因幼时的忽视导致智力低于平均水平的实例。初期的脑部发育受感官输入的影响。人类主要的感觉包括触觉、温感、听觉、视觉、味觉和嗅觉。新生儿首先运用触觉:婴儿的脸颊接触到妈妈胸部时很敏感,而脸颊的摩擦引发了弯曲舌头、吮吸乳头的反应。这个弯曲舌头的能力很有意思,因为许多成人反而不能弯曲舌头,尽管他们在婴儿时期显然可以做到。这一现象类似于孩子能毫不费力地获得绝对音感,却在青春期之后又消失了。

下一个发育的感觉是听觉。婴儿生来具有听力,现在的婴儿刚生下来就要例行检查以尽早发现听力缺陷。早期发现能够防止听觉输入缺失导致的智力和发育延迟,因为可以有其他输入替代听觉来刺激脑部。出生时的听力对识别妈妈的声音很重要,这在动物界则是关键的求生手段,可以在庞大的族群中找到妈妈。这就是为什么婴儿能快速精确地获得绝对音感以及任何其他的声音特性。随着婴儿的成长,与听觉相关的发育从记忆型转变为逻辑型以促进语言的学习。在这两个阶段,音乐在大脑和情感的发育中都扮演着重要的角色。因此音乐先于语言——与语言不同,音乐是大脑自然的内置功能,无需学习。音乐可以创造情感,并能利用任何语言都无法表达的逻辑。所以,在能叫“妈妈”“爸爸”之前,婴儿就会从音乐输入中获益。

婴儿显然比成人拥有更多的脑细胞,虽然大脑的质量要小得多。大脑的发育产生于受刺激细胞的生长和未受刺激细胞的消亡之中。更强的刺激导致更多的细胞得以保留,从而提高了记忆力和智力。虽然2至8岁的儿童能快速学会很多东西,但也会同样快速地忘掉,因为大脑正快速地变化着。对于成人,大脑的适应性就弱得多,因为其神经通路系统已固定下来。所以任何婴儿都能很好地学会说任何语言,但是学习一门新语言的成人就很少能正确发音。语言、音乐和运动的培养也是类似,显示出大脑扮演着主要的角色。如今已广泛接受的观点是,天才不是生来的,而是后天培养而成的——也就是说,莫扎特之所以成为天才是因为他从很小的时候就从事音乐。这一结论的意义是巨大的,因为这对我们任何人都适用。很明显,脑科学研究将产生未来最伟大的革命之一。

学习身体技能。身体技能的学习,如演奏钢琴,属于一种项目管理。项目管理包括:定义项目的目标、估计所需时间和工作量、确定相关资源是否可用、准确地获知项目结束的标志,然后作出行动规划。

估计完成项目所需时间通常是最困难的部分。应该将项目分成短期和长期两类:是能在几天之内学会的技能,还是需要一生进行长期学习的技能。明确了某个项目可以在几天内完成,那么如果实际花的时间变长了也就知道有地方出问题了——这就能避免浪费时间,因为你一定会立刻寻找更好的方式。类似地,明确了某个项目需要一生进行长期学习,那么如果努力了很长时间却仍然没有完成的话也就不会倍感挫折。所有成功的项目都要基于各种知识,光有理论是不够的。有一类技能尤其容易学会,这就是有“学习诀窍”的技能。在钢琴练习中,我们看到分手练习和平行组合方法都是有力的学习诀窍。行动的规划要包括将复杂的任务简化成一个个子任务,然后分别执行各个子任务。基本原则本身并不够,因为项目管理基于多种知识。对于钢琴学习,基本原则告诉你要分手练习、分段落练习,但是并未包含连续性规则、平行组合、跳指等方法。显然,这些项目管理的通用原则具有广泛的适用性,但项目的成功仍然取决于具体的知识。

其他原则:不要在前一部分未完成时开始新的部分,了解如何维护已完成的部分,以及对项目完成有着清晰的定义。

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 楼主| 发表于 2010-12-23 11:25:28 | 显示全部楼层

3. 直觉为什么常常是错误的?

我们看到直觉性的方法经常是错的。多数领域都有这种情况,而不仅限于钢琴练习。原因是纯统计的:要完成任何工作,都有几乎无穷多种方法,而只有一种是最好的。也就是说,我们猜中那个最好方法的概率趋近于0。大自然赐予我们的“直觉”能快速给出一个差强人意的方案——通常比大多数方案都要好。然而,在所有可能的方案中,仅有一个是最好的方案。由于直觉性的方法通常能很快获得而缺乏充足的信息,所以很难是最优的。因此,用直觉猜中最优方法的可能性就相当低。

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 楼主| 发表于 2010-12-23 11:26:03 | 显示全部楼层

4. 莫扎特公式,贝多芬与群论

(译者注:建议将本节中提到的曲子相关小节附以图示。)

数学与音乐的关系即便不是绝对本质的,也是十分密切的。二者起码有很多共同的最基本的性质,如半音音阶就是简单的对数公式(见第二章第2节),又如基本和弦即最小的几个整数之比。如今很少的音乐家会为了数学本身而对数学感兴趣。然而,事实上每个人都会不时地好奇于数学是否以某种方式关乎到音乐创作。有没有某种深层的、根本性的原理同时支配着数学和音乐呢?此外,可以肯定的是,我们每将数学成功地应用于某个领域时,都会使该领域产生长足的进展。要开始探索数学与音乐的关系,一种方式就是从数学的角度研究最伟大的作曲家的作品。下面的分析不涉及乐理。

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 楼主| 发表于 2010-12-23 11:27:06 | 显示全部楼层

莫扎特(弦乐小夜曲、奏鸣曲K300)

我第一次听到莫扎特公式的说法是在一位音乐教授的讲座上。从那之后我就失去了线索——如果谁能提供这部分内容的出处(教授姓名和所在学校),请告诉我。当我听到这个公式时感到非常激动,因为这也许会对乐理和音乐本身有所启示。刚开始你可能会像我当时一样感到失望,因为莫扎特公式看起来是严格结构化的。结构化的分析还无法揭示那些著名旋律是如何产生的,不过毕竟乐理也不能。如今的乐理只有助于写出“正确”的音乐,或者在有了创作动机之后予以展开。乐理就是关于音符集合的分类以及音符在某些模式下的排列。我们不能排除音乐从本质上是基于某些可辨识的结构模式的可能性。

我们现在已了解到,事实上莫扎特从幼年起所写的全部作品,都是通过一个公式把音乐展开了十几倍而成的。也就是说,只要他新创作出一段一分钟的旋律,最终的作品就会有至少十分钟长,有时还要长得多。公式的第一部分是重复每个主题。这些主题一般都很短——只有4到10个音符,这比你能想到的音乐主题都要短得多。这些比整体旋律短得多的主题,由于短得难以识别而完全隐匿在旋律中。这就是为什么我们一般不会注意到这些主题,然而却几乎确凿是作曲家的有意构建。然后,将主题加以两到三次变化并重复,而观众听到的则是连续的旋律。主题的变化包括多种数学及音乐对称性的使用,如转位、反转、和声的变化、巧妙的装饰音等等。而主题的重复组成了一个乐段,整个乐段再进行重复。主题的重复首先使作品扩充为两倍,主题的变化又能扩充到二至六倍(或更多),而整个乐段的重复再把作品扩充为两倍,总的来说至少扩充成2x2x2=8倍。这样,莫扎特就能以最少的主题素材写出巨作。不仅如此,他对原始主题的变化还有着特定的次序,这样每部作品中的基调或者色彩都能按同样的次序发展。

由于这种业已确定的结构,莫扎特可以从中间任何位置开始创作,或者每次写一个声部,因为他事先就知道每一部分放在什么地方。而且他在最后一段乐思形成之前不必写下整个曲子。他也可以同时写多首作品,因为都具有相同的结构。这个公式使他表面看上去所拥有的天才成分比真实的要多。于是产生一个自然的问题:莫扎特“天才”的美名有多少仅仅是这种模式的假象?这并不是质疑他的天才——反正要拿音乐来说话!然而,这些天才们许多美妙的作品都来源于相对简单的手法,而我们都可以通过发掘这些手法的细节来加以利用。例如,了解了莫扎特公式会使详细分析和记忆他的作品变得更容易。理解其公式的第一步是能够分析他所用的重复。这并不是简单的重复,莫扎特用他的天才将这些重复加以变化和伪装,使这些重复流淌出音乐并且不会被识破。

作为应用重复的例子,我们来考察一下莫扎特弦乐小夜曲快板乐章中的著名旋律,即电影《莫扎特》开场时萨列里弹奏的让牧师认出来的那段旋律。这旋律是以一句问题和一句回答构成的重复。问题是由男声提出:“嘿,你来了吗?”而回答是女声:“是的,我来了!”男声的陈述只用了两个音符,构成命令式的四度,并重复三次(六个音符,再加上开始处代表“嘿”的单个音符);而问题由尾部两个上升的音符发起(这似乎在各种语言中是通用的——问题的提出用上扬声音结尾)。这样,第一部分包含9个音符(每个人都熟悉这段旋律,可以在心中试唱出来)。而运用重复时音调变高了,所以是女声的回答,同样是两个音符,这次是较甜美的小三度,重复三次(对,还是六个音符,其中第一个代表“是的”)。这用作回答是因为最后三个音符在起伏中下降。同样,共9个音符。莫扎特创造这种构架的效率是惊人的。更加难以置信的是对其中的重复如何伪装,使你听到完整的旋律时不会想到是一种重复。几乎所有莫扎特的作品都可以这样分析。不必多言,这首小夜曲的其余部分(以及几乎所有莫扎特的作品)也遵循同样的模式。

我们来看另一个例子,A大调第11号(译者更正)钢琴奏鸣曲K300(或KV331——以土耳其进行曲结尾)。第一主题的基本单元是一个四分音符加一个八分音符。第1小节中这一单元的首次引入用附加的16分音符伪装了起来;而后面紧跟一个基本单元,结束了第1小节。这样在第1小节中,上述单元重复了两次。莫扎特随后将第1小节的两个单元向下平移一度,直接形成第2小节。第3小节是基本单元的两次重复。在第4小节中,又用16分音符对第一个单元作了伪装。而1-4小节稍加变化之后就形成了5-8小节。从结构化的观点来看,前8小节中每个小节都与第1小节有同样的模式。从旋律的观点来看,这8个小节产生的两段长旋律有着相似的开头和不同的结尾。由于整个8小节又被重复,莫扎特实际上把体现在第1小节中的初始动机增加到16倍。如果就基本单元而言,那就增加到了32倍。然而他就这样继续用这一基本单元的惊人变奏创作出了第一乐章,所以最终乘的系数甚至更大。他运用的是重复的重复。把变化后单元的重复衔接起来,创作出的旋律听起来就很长,如果不被分解为基本成分的话。

在呈示部的后半部分中,莫扎特向基本单元中引入了新的变化。第10小节加入了装饰旋律以伪装重复,并引入了另一种变化,把基本单元弹作三连音。三连音的形式引入后,又在第11小节中重复两次。第12小节类似于第4小节,同为基本单元的重复,但其结构体现了对前3小节和后3小节的连接作用。这样,9-16小节就类似于1-8小节,而乐思不同。最后2小节(17-18)作为呈示部的结尾。以这些分析为例,现在应该能分解此作品的剩余部分了。你会发现从头至尾都遵循着同样的重复模式。随着分析更多莫扎特的音乐,你会需要考虑更多复杂性,例如重复3次甚至4次,以及与各种变化结合以隐藏重复。莫扎特是擅长伪装的大师,只听音乐而不知如何分析时是察觉不到重复及其他结构的。

莫扎特公式固然提升了他的创作效率,然而他在运用重复的重复方面可能还具有某些魔力(催眠性?成瘾性?),他可能凭自己的音乐依据去安排作品中各主题基调的顺序。也就是说,如果进一步将旋律按照其感情基调进行分类,会发现基调的排列顺序是相同的。这里的问题是,如果我们挖得越来越深,是会发现更多这样简单的结构化或数学化手法一层层地堆叠起来呢,还是会发现更多音乐性的东西呢?几乎可以肯定的是,一定还有更多现象有待解释,但从未有人说到点子上,即便是大作曲家自己——至少从我们已知的事实来看是这样。所以,看起来我们凡人唯一能做的就是一直发掘下去。

上面提到讲授莫扎特公式的那位音乐教授还指出,这个公式在莫扎特作品中的运用很严格,所以可以用来识别他的曲子。然而,这个公式的要素是被许多作曲家所熟知的。既如此,莫扎特就不是发明这个公式的人,并且类似的公式在那个时代的作曲家圈子里有广泛的应用。萨列里的某些作品就渗透着非常相似的公式;也许这是萨列里意图效仿莫扎特的方式。所以为了识别莫扎特的曲子,你非得了解到他用的公式的每个细节不可。事实上,有史以来的全部音乐作品中,一大部分都是基于重复的。下面将要讨论的贝多芬第五交响曲的开头部分就是个例子;我们熟悉的“筷子”旋律也准确地运用了莫扎特公式,好像莫扎特本人用的一样。因此,莫扎特正是利用了一个相当普适的音乐属性。

毋庸置疑,音乐与天才难解难分。我们甚至不清楚,到底莫扎特是因为天才而成为作曲家,还是自幼与音乐的广泛接触创造了他的天才。音乐无疑是他大脑发育中的重要因素。我们可以说“莫扎特效应”最好的范例就是沃尔夫冈?阿玛迪乌斯他自己,尽管对他来说这一效应不是来源于他自己的杰作。如今,我们才开始理解大脑工作的某些秘密。例如,直到最近我们才明白,一定比例的智障患者有超凡的音乐才能这一想法并不完全正确。实际上,音乐对于大脑的运行及其运动控制能力有着强大的影响。这便是我们要伴着音乐跳舞或锻炼身体的原因之一。最有力的证据来源于无法认清不同种类的衣服而丧失了穿衣能力的阿尔兹海默症患者。研究发现,当穿衣的时候放恰当的音乐时,这些病人就常常能够自己料理了!“恰当的音乐”通常是他们年青时听到的或者最喜欢的音乐。这样看来,极不擅长日常家务的智障患者可以突然坐下来弹钢琴是由于演奏的音乐正是能刺激他们大脑的恰当的类型。因此,他们也许不是有音乐才华,而是音乐赋予他们新的能力。不仅仅是音乐对大脑有这些奇妙的作用,这一点可从能够记忆极大量信息或拥有常人不可及的数学功底的大学者身上得到证实。音乐只是恰巧激发了大脑中某种更基本的内部节奏。因此,这些大学者也许并非是天才,而是运用了本书中提到的一些方法,比如头脑演奏。像过目不忘之人一样,有些大学者可能无时无刻不在头脑中重复着有关音乐或数学的念头,这可以解释他们为什么无法应对日常琐事——因为他们脑子里总有别的事情要思考。这同样可以解释为什么教授、数学家、音乐家之类的人常被认为是心不在焉的——他们脑子里整天都在头脑演奏中。我们早就知道大学者有一种强烈的强迫症倾向,他们这一障碍会不会是源于极端的、重复的头脑演奏呢?

如果说音乐对智障患者都有如此深刻的影响,可以想象在一个含苞待放的天才身上会发生什么,尤其是在大脑发育的幼年时期。这种影响可以推广到任何弹钢琴的人,不只是智障患者和天才而已。

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 楼主| 发表于 2010-12-23 11:30:36 | 显示全部楼层

贝多芬(第五交响曲、热情、华尔斯坦)

数学手法的运用深植于贝多芬的音乐当中。因此,这是挖掘数学与音乐关系的最佳场所之一。我不是想说其他作曲家没有运用数学手法。几乎每部音乐作品都有数学作为地基。然而贝多芬却可以把这些数学手法发挥到极致。我们惟有分析这些极端的例子才能发现更多确凿的证据,了解他运用了何种类型的手法。

我们都知道,贝多芬从未真正学过高等数学。然而他在音乐中吸收了惊人数量的数学成分,在很高的层面上体现出来。第五交响曲的开篇就是典型个例,而类似的情况数不胜数。他“使用”群论(group theory)一类概念创作了这首著名的交响曲。事实上,他运用的手法被晶体学家称为对称变换下的空间群(Space Group)!这一群的概念支配着许多前沿技术,如量子力学、核物理学、晶体学这些当代科技革命的基石。抽象到这个层面上,钻石的晶体和贝多芬第五交响曲毫无二致!下面我将解释这种奇异的现象。

贝多芬所“使用”的空间群(他当然会起个不同的名字)是用来刻画硅晶、钻石等晶体的。正是空间群的性质使得晶体无缺陷生长;因此,空间群是晶体存在的数学基础。既然晶体由空间群来刻画,理解了空间群就基本理解了晶体。空间群给致力于解决通信问题的材料科学家提供了开展研究的简洁框架。这就像物理学家要从纽约开车到旧金山,而数学家递给他们一张地图!优质的硅晶体管就这样诞生,并引发了集成电路和计算机革命。那么,什么是空间群?空间群又为什么对这部交响曲十分重要呢?

群(group)定义为满足一组条件的集合。数学家发现这样定义的群在数学上可操作,而物理学家发现了群的实用价值:也就是说,这种让数学家和科学家感兴趣的群提供了解释现实世界的途径。群的若干性质之一是其由元素(Member)和运算(Operation)组成。另一性质是元素经运算得到同一群中的元素。一个常见的群是整数群:-1、0、1、2、3,等等。整数群上的一种运算即是加法:2+3=5。我们注意到把加法运算作用到元素2和3上得到整数群的另一元素5。由于每个元素经运算变为另一元素,运算也被称为变换(Transformation)。空间群的元素可以是任何空间中的任何事物:原子,青蛙,或音符在任何音乐维度下的描述如音高、速度、响度。空间群的运算中与晶体学相关的有(复杂程度由低到高排列):平移(Translation)、旋转(Rotation)、反射(Mirror)、反演(Inversion)、幺正运算(Unitary Operation)。这些概念多可从字面意思得到解释(如平移表示在该空间中把该元素作一段位移),而幺正运算表示不改变该元素。然而,微妙的是它并不同于等价变换,因而在教材中总是列在最后。幺正运算通常与群中最特殊的元素相关,称为幺元(单位元,Unitary Member)。在上述整数群中,对加法运算有幺元0(5+0=5),对乘法运算有幺元1(5*1=5)。

让我来说明在日常生活中如何用到空间群。你能解释为什么照镜子时左手到了右边(右手也到了左边)而头不会转到脚底下吗?空间群告诉我们,右手无法通过旋转得到左手,因为左-右是反射运算,而非旋转。注意这是个奇特的变换:右手在镜子里变成左手,所以右手上的痣就长到了镜子里的左手上。这在对称物体上会造成费解的情况,比如相比于你所熟悉的自己在镜子中的样子,照片上自己脸上的痣就会看起来长错了地方。反射运算正是照镜子时右手变成了左手的原因;而镜子无法作旋转运算,所以头还在上边,脚还在下边。玩光学把戏的曲面镜(比如调换头和脚的位置)属于更复杂的镜子,可以作空间群的其他运算,而群论在分析曲面镜的成像时一样有用。解决平面镜的成像问题相对容易,因为我们可以拿一面很熟悉的镜子来辅助。同样的问题可以以一种不同的形式呈现而立刻变得很复杂,这时显然就需要群论来帮忙了。如果把一只右手手套从里面翻出来,会是右手手套还是左手手套呢?这个问题留给你思考(提示:用一面镜子)。

我们来看贝多芬是如何用他对空间对称性的直觉理解创作第五交响曲的。著名的第一乐章用含有四个音符的短小的音乐主题构造出来;其中前三个音符是同一个音的重复。由于第四个音符不同于前三个,可以称它为“奇音符”(surprise note),贝多芬的天才就在于把这个音作为强拍。这一主题可表示为序列55533为奇音符。这是基于音高的空间群;贝多芬用了一个3维空间,维度包括音高、音长和音量。在以下的讨论中我们只关注音高和音长的维度。贝多芬第五交响曲的开篇由群中的一个元素来引入:5553。在短暂的休止让我们有时间辨认这个元素之后,他作了平移运算:4442。每个音符向下平移,得到同一个群中的另一元素。在另一个休止让我们听出这个平移运算之后,他说:“这不是很有趣么?咱们痛玩一场!”然后用一连串的平移展示出这一运算潜藏的能量并形成旋律。为了确保我们理解了他的用心,他暂时没有掺入其他更复杂的运算。接踵而至的一连串小节中,他连续调用了旋转运算得到3555,和反射运算得到7555。快到第一乐章的正中间时,他终于引入了可以理解成幺元的元素:5555。注意这一组相同的音符5是反复而成,也就是幺正运算!

在最后的快板乐章中,他又回到这个群,但只用了幺元,并呈现出更复杂一层的形式。这里幺元总是重复三次,而有趣的是这之后紧跟着第四个音列——“奇音列”(surprise sequence)7654,而这不是群中的元素。重复三次的幺元加上这个奇音列形成了初始群上的一个超群(Supergroup)!贝多芬已经把群的概念一般化了!这个超群包括初始群中的三个元素和一个非元素,这满足了初始群的条件(三个重复音加一个奇音符)。

这样看来,把贝多芬第五交响曲的开头翻译成数学语言,就好像一本群论教材的第一章,几乎句句对应!要知道,群论是数学最高的形式之一。这部交响曲中数学内容的呈现甚至与教材上的顺序都是一致的,从元素的引入到运算的使用,从最简单的平移运算开始,到最微妙的幺正运算结束。贝多芬甚至阐释了这个概念的一般性,用初始群构造了超群。

贝多芬尤其钟情于这种四个音符的主题,并用在了很多作品中,比如“热情”钢琴奏鸣曲的第一乐章,见左手第10小节。作为音乐大师,他在“热情”中小心地避开了基于音高的空间群,换到了不同的空间——音长(速度)和音量的空间(235至239小节)(译者更正)。这又进一步说明贝多芬一定对群论有直觉上的把握,并有意识地区分这些空间。这些与群论不谋而合的构造在数学上绝非偶然,几乎可以确证他是在操作群的概念。

为什么这种构造对第五交响曲的开篇很重要呢?很明显,它提供了一个整齐划一的平台作为整部作品的支点。这种简洁性和一致性让观众能够一心一意地聆听。此外,它还有一种成瘾效应。这种潜意识里的重复(听众对于他的特定手法并不知情)有很强的感染力。这就像魔术师玩的花样——不知道怎么玩出来的就越发感觉出神入化,于是魔术师就控制住了不知底里的观众。就像贝多芬对于群一类的概念有直觉上的理解一样,我们也都会感到某种模式的存在,却无法明确指出是什么。莫扎特运用重复也达到了相似的效果。

了解贝多芬所用的群一类的手法对演奏他的作品很有帮助,因为你会准确地知道应该怎么弹、不应该怎么弹。同一类的例子也出现在“华尔斯坦”奏鸣曲的第三乐章,整个乐章是基于三个音符的主题,用155表示(开头的CGG)。“热情”第一乐章开头的琶音也是这样,主题用531表示(开头的CAbF)。这两个地方如果不把最后一个音符弹成强拍,音乐就会丧失其结构、深度和激情。这在“热情”中尤其有趣,因为琶音的强拍通常是第一个音,所以许多学生常在这里出错。与“华尔斯坦”一样,初始主题在整个乐章中重复,并且随着乐章的推进变得越发明显。不过到了那时,听众已经沉迷进去,并不会注意到这个主题占了最多的篇幅。感兴趣的话可以看看在“热情”第一乐章快结束的时候,主题变换为315,并在230小节(译者更正)上升到极尽夸张的程度。然而多数听众不会知晓贝多芬用了何种手法,只是沉醉于那炽烈的高潮,此时虽极尽夸张却有着似曾相识的神秘感,因为相同的结构已经重复出现了不下百次。注意假如演奏者没有弹出主题并强拍(出自第一小节!),这一段高潮就会丧失其魅力。

贝多芬告诉了我们“热情”开头531琶音的良苦用心,是在这一琶音在35小节化为这一乐章的主题之时。这时我们才发现开头的琶音是精心设计的主题的反转形式,也明白了如此安排强拍的道理。所以这首曲子从开头到35小节都在做心理上的准备,引出贝多芬创作的最美妙的主题之一(35小节)。他想在我们听到这个主题之前先把其动机注入我们的大脑!这也许能解释为什么这段怪异的琶音要在开头以一次非逻辑的和弦进行重复两次。有了这样的分析,整个第一乐章的结构就清晰了,有助于我们正确地记忆、理解、演奏这首曲子。

群论的使用也许是贝多芬向音乐中编织的附加概念,让我们在堕入迷雾时看到他的灵性。这或许是也或许不是他创作音乐的机制。因此,上面的分析只是为了对于产生音乐灵感的精神历程略见一斑。仅仅用了这些手法并不等同于有了音乐。关于贝多芬未为外人道的秘密,我们是否接近了真相呢?

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 楼主| 发表于 2010-12-23 11:32:55 | 显示全部楼层

5. 学习速率的计算(快1000倍!)

(译者注:本节译文对原文中公式的表述和解释有较大改动,以期更加清晰和严谨。另建议将本节中相关的函数曲线附以图示。)
(另注:论坛上打不出上下标,所以只能凑合看。)

下面我将从数学上计算按本书中方法学习钢琴的速率。结果显示本书中的方法可比直觉性方法快1000倍。1000这个倍数之大使我们不必计算精确的数值就可以说明二者的巨大差别。这样的结果是可信的,因为我们看到许多学生在直觉性方法上倾其一生也未能有大成就,而有幸使用正确学习方法的学生可以在10年之内具备专业水准。很明显,练习方法的差异造成了挫败感与成就感的天壤之别。这里,“快1000倍”不是说可以在一毫秒内成为钢琴家,而是指使用直觉性方法会比最佳方法慢1000倍。我们可以得出这样的结论,恰当的方法会使我们的学习速率相当接近于那些著名的作曲家,如莫扎特、贝多芬、李斯特、肖邦。要知道,我们有这些往昔的“天才”们所不具备的一些优势。他们没有那精彩的贝多芬奏鸣曲,用来掌握技术的李斯特和肖邦的练习曲,产生“莫扎特效应”的莫扎特作品,以及像本书这样系统地讲解练习方法的教程。此外,如今已经有上百种利用上述作品获得技术的久经考验的方法(贝多芬常常难以演奏自己的作品,因为当时没有人知道练习这些作品的正确或错误的方式)。顺便说一点,有趣的是历史上这些大钢琴家所用的唯一练习材料都是巴赫的作品。这让我们都去相信研习巴赫对于掌握多数基本的键盘技术好像就足够了。

用数学解决问题的方式是这样的。首先,必须清楚这个问题所遵循的最基本的物理定律。这些定律让我们能够列出所谓的微分方程;这就是问题的数学表述。列出微分方程之后,用数学方法解这些方程,得到的带有参数的函数可以描述问题的解,一组参数确定一组解。于是代入合适的参数值就得到了我们需要的解。

我们用来推导学习方程(learning equation)的物理原理叫做随时间的线性性。这样一个抽象的概念看起来跟钢琴毫无关系,而且也不以生命过程为本质,但却正是我们所需要的。那么让我来解释什么叫“随时间的线性性”。这个概念主要指的就是与时间成正比。学习就像赚钱;重要的不是收入,而是结余——最后存下来多少。也就是说,给出一定量的学习内容,我们需要计算其中学到了多少。随时间的线性性表示如果我们在一个时间段T内遗忘了F比例的内容,那么在另一等长的时间段T内会遗忘同样占F比例的内容。我们知道学习过程其实是高度非线性的。假如用4个小时反复练习一小段,那么最初30分钟的收获很可能比最后30分钟的收获要大得多,最终能学到多少或存下来多少跟练习方法有密切的关系。然而,现在我们讨论的是优化的练习片段(优化的练习片段不会允许用4个小时反复练习4个音符的!),并且由若干年中许许多多的练习片段平均而得。当我们把所有这些练习模式平均下来,就会得到一个趋于线性的模式。线性近似与实际相差最多2到3倍,这样的精确度对我们已经足够。注意线性性(直到一阶近似)的成立与学习的快慢无关;快或慢只会改变其中的正比例常数。这样我们就有第一个方程:
Δl = kl T (1.1)
其中Δl为时间段T内学习内容的增量,kl为正比例常数。而我们想找出学习内容的存量L对时间的依赖关系,即函数L(t),其中t为时刻(而非时间段T)。

现在出现了第一个有趣的新概念。我们可以控制Δl:如果想要学2Δl的内容,练习两次就好了。但是,这并不是学习内容的存量,因为经过一段时间会遗忘一部分内容。遗憾的是,学的内容越多,忘的也就越多;也就是说,遗忘的量与当前的存量L0成正比。因此,假设当前学习内容的存量为L0,在时间段T内遗忘的量为:
ΔL= -kL T L0 (1.2)
注意kL前面的负号,因为遗忘一部分内容之后存量会减少。把公式(1.2)中的时间段T缩短到无穷小,就得到如下微分方程:
dL(t)/dt = -kL L(t) (1.3)
其中d表示微分。微分方程(1.3)的解为:
L(t) = L(0) exp(-kL t) (1.4)
其中exp表示指数函数。由公式(1.4)可知,若在时刻t=0时学习内容的存量为L(0),将立即以指数速率遗忘,前提是遗忘的模式随时间是线性的(1.2)。

由于指数没有单位,公式(1.4)中kL的单位就是秒分之一。我们设定kL = 1/T(kL),其中T(kL)称为特征时间(characteristic time)。这里kL指向一个特定的学习/遗忘的模式。钢琴的学习包括大量这样的模式,其中的大部分还没有被清楚地认识。因此,给每种模式确定T(kL)的精确值基本是不可能的,在后面的具体计算中,我们会做大致的估计。在钢琴练习中,我们要把困难的段落反复多次才能弹好,我们给每一次反复赋以编号i。则公式(1.4)化为:
L(i,t,kL) = L(i,0,kL) exp(-t(i)/T(kL)) (1.5)
其中L(i,t,kL)指学习/遗忘模式kL的第i次反复。(译者注:此处原文有一举例,因其语意含混,且与两公式衔接无关,故略去不译。从公式1.5到1.6所依据的累积效应,其原理应在公式1.1。)事实上,因为反复了多次,我们要计算的是全部反复之后累积的存量。由公式(1.5),累积效应可通过对所有i求和得到:
L(t,kL) = Σ(over i)[L(i,0,kL) exp(-t(i)/T(kL))] (1.6)

现在我们向公式(1.6)中代入一些数值来求解。比如有一个段落合手慢弹需要100秒(直觉性方法)。这个段落有两到三处可在一秒内快弹的平行组合难点,所以100秒内可以反复100多次(本书方法)。一般来说,这两到三个难点就是唯一的阻碍,所以假如这几处能弹好,整个段落就能以要求的速度弹好。即使用直觉性方法也肯定要反复多次,但让我们来比较每个100秒的区间内学习过程的差别。对于我们的快速学习法来说,遗忘的趋势也很快,我们将遗忘模式的特征时间取作30秒;也就是说,每过30秒,一次反复中学习内容的增量会遗忘将近70%(译者更正,即1-1/e)。注意即便过了很长时间也不会全忘干净,因为遗忘模式是指数下降的——指数衰减永远不会到零。此外,平行组合的多次反复练习可在很短的时间内完成,所以每次的存量会迅速地累积。30秒这个特征时间取决于学习/遗忘过程的机制,我为快速反复的练习选择了相对短的特征时间;后面还会讨论更长的特征时间。

假设做一次平行组合需要一秒,学习内容的增量为1个单位,那么第一次反复到t=100秒时所剩的存量为exp(-100/30) = 0.04个单位,此时最后一次反复的存量为exp(-1/30) = 0.97个单位,这100次反复的平均存量则是中间的某个值,比方说0.4(后面会看到此处不必严格),那么100次反复就结余下40个单位的存量。对直觉性方法而言,平行组合的难点只重复了一次,t=100秒时存量即为exp(-100/30) = 0.04个单位(译者注:此处须假设平行组合的难点出现在t=0秒时)。差别有40/0.04 = 1000倍!相差的倍数这样大,我们就无需很高的精确度来说明差异之大。

上面用30秒作为特征时间是针对快速的学习模式,比如单个练习片段之内完成的。还有很多其他的模式,比如通过“练习后的进步”(PPI,post-practice improvement)获得技术。若严格地进行状态控制(conditioning),PPI需要一周或更长的时间使技术得到改进。对于这种慢速模式,遗忘或技术损失的速率不能用30秒衡量,而要长得多,也许是几周的时间。因此,为了计算出学习速率的整体差异,我们必须用相应的特征时间计算所有已知的提升技术的方法所导致的差异,不同方法的特征时间也有很大差别。PPI很大程度上取决于状态控制,而状态控制又与上面计算的平行组合的情况类似。所以PPI导致的直觉性方法和本书方法间的差异也可达1000倍。

当学习速率中最重要的部分像上面那样计算出来之后,我们就可以考虑影响最终结果的其他因素来进一步完善上面的数字。有各种使本书方法比刚才计算的速率慢或快的因素。例如,1000倍这个数字不可能得到充分体现,因为多数“有直觉性”的学生早已开始实践本书中的某些思想了。另一方面,有的因素会使直觉性方法更慢,所以上面“快1000倍”可能是个低估的结果。速度壁垒的影响难以计算,因为速度壁垒的形成因人而异。然而可以肯定速度壁垒会明显减慢直觉性方法。这些彼此冲突的因素(使直觉性方法变慢或变快)很有可能相互抵消,所以快1000倍的结果应该是大抵成立的。这些计算说明,平行组合的使用、先把最难的部分练好、练习小段、迅速提速,这些都是加快学习速率的主要因素。

我们当然不一定要微积分来证明直觉性方法之慢。然而,能具体计算出学习速率的差异也是令人鼓舞的,而且这个差异如此巨大。

[ 本帖最后由 kd1986 于 2010-12-23 11:57 编辑 ]

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 楼主| 发表于 2010-12-23 11:33:34 | 显示全部楼层

6. 进一步的研究课题

科学方法可以确保错误及时得到改正,所有已知的事实被有序地解释、记载与组织,并且我们只会朝进步的方向发展。从前那种一个钢琴教师讲的方法另一个教师一无所知,或者两个教师讲完全对立的方法的情况,不应该出现。任何科学研究的一个重要方面是对于哪些是已知的以及哪些有待研究进行讨论。下面归纳了几个这样的课题。
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